探讨高等数学中幂指函数极限题型的多种解法

时间：2019-09-07 10:15:38 所属分类：教育理论 浏览量:

摘要：众所周知极限问题是高等数学中的基础知识点，更是考研数学中的重要核心考点对于幂指型极限题型来说，很多学生掌握不好，而此类题型的掌握程度对于学生能否学好极限，进而更好地掌握高等数学基础知识起到至关重要的作用。本文结合考研真题从多方面探索

　　摘要：众所周知极限问题是高等数学中的基础知识点，更是考研数学中的重要核心考点对于幂指型极限题型来说，很多学生掌握不好，而此类题型的掌握程度对于学生能否学好极限，进而更好地掌握高等数学基础知识起到至关重要的作用。本文结合考研真题从多方面探索幂指型极限问题的教学方法，从而达到提高学生对此类题型掌握，进而提高极限运算水平，增强学生在考研数学中的核心竞争力。

　　关键词：幂指型极限;高等数学;考研真题

　　一、引言

　　众所周知极限问题是高等数学中的基础知识点，更是考研数学中的重要核心考点对于幂指型极限题型来说，很多学生掌握不好，而此类题型的掌握程度对于学生能否学好极限，进而更好地掌握高等数学基础知识起到至关重要的作用。本文结合考研真题从多方面探索幂指型极限问题的教学方法，从而达到提高学生对此类题型掌握，进而提高极限运算水平，增强学生在考研数学中的核心竞争力。

　　二、针对幂指型极限的基本题型( ∞1 型)的多种解法

　　在高等数学教学中，了解到学生对于极限的计算掌握不好，尤其是对于幂指函数的极限题型掌握非常不好，而幂指函数的极限中最基础的题型 ∞1 型，针对极限运算中的 ∞1 型极限的基础解法也有多种，总结如下：(1)第二个重要极限： t e t t + = → (1 ) lim0 ;(2)换底法： v v u eln = 则 v v u elimln lim = ;(3)公式法：若 limα(x) = 0 ， limβ (x) = ∞ ， 且 limα(x)β (x) = A，则 x A + x = e ( ) lim(1 ( ) β α 。下面结合考研真题对此类题型的求解进行归纳：

　　例 1(2011 年 10 分)求极限 1 1 0 ln(1 ) lim − →   + x e x x x 解 此题是 ∞1 型极限，常见解法有两个，其一是换底法，其二是公式法。

　　【解法一】 换底法根据换底法可得 1 ln(1 ) ln 1 1 ln(1 ) −   + −  =   + x x e x x e e x x ，进而可知原式 = x x ex x e ln(1 ) ln 1 1 lim0 + → − ，其中 2 0 0 0 ln(1 ) ln(1 ) ln 1 1 ln(1 ) ln lim lim lim x x x x x x x e x x x x x x + − =   + − + = −   + → → → ，对上式进一步使用洛必达法则可得 2 1 2 1 2 1 1 1 lim0 lim0 = − + − = − + → → x x x x x x x ，则原极限 2 1 − = e .

　　【解法二】公式法对于 ∞1 型极限可利用如下公式简化运算：若 limα(x) = 0 ， limβ (x) = ∞ ， 且 limα(x)β (x) = A，则 x A + x = e ( ) lim(1 ( ) β α .对于此题而言， 1 1 0 1 1 0 ln(1 ) 1 ln(1 ) lim lim − → − →   + −  = +   + x x e x e x x x x x x ，其中 x x x x + − = ln(1 ) α( ) ， 1 1 ( ) − = x e β x ，且 2 ln(1 ) 1 1 ln(1 ) 1 ( ) ( ) 2 0 0 0 lim lim lim = − + − = − + − = = → → → x x x x e x x A x x x x x x α β ，则根据公式法可知原极限 2 1 − = e 。

　　四、小结

　　本文通过结合考研真题从换底法、公式法、洛必达法则、等价无穷小替换多个方面考察了幂指函数极限题型的多种解题技巧，从中不难发现极限问题中很多时候是多种方法巧妙结合方可达到提高解题效率，不得不说幂指函数极限题型由于其形式特点复杂，成为极限运算教学研究的一大重要课题 .

　　探讨高等数学中幂指函数极限题型的多种解法相关参考《高等数学研究》。

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