数学课程内容表征的分析框架

时间：2015-12-20 14:43:04 所属分类：教育理论 浏览量:

摘要：数学课程内容表征包括内在表征和外在表征；论文 内在表征主要有三种：逻辑式、心理式、教学式；外在表征主要包括数学语言、自然语言、文图结合等。数学课程内容的不同表征形成了不同风格的教科书。课程内容表征多样化，包括外在表征的多样化，应该

摘要：数学课程内容表征包括内在表征和外在表征；论文 内在表征主要有三种：逻辑式、心理式、教学式；外在表征主要包括数学语言、自然语言、文图结合等。数学课程内容的不同表征形成了不同风格的教科书。课程内容表征多样化，包括外在表征的多样化，应该成为我国中小学数学教科书研究的重要内容。

关键词：课程标准；内容表征；内在表征；外在表征；数学教科书；表征多样化

义务教育<数学课程标准>要求“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。”[l] 并在第三部分“内容标准”中分三个学段(而不是分年级)规定了课程内容和目标。这既体现了国家意志，具有强制性和规范性，也为许多省市和地区编写不同风格的数学教科书，彻底打破过去长期占统治地位的“一纲一本”格局留下了广阔的空问。在数学课程内容确定之后，教科书编撰者就必须研究数学课程内容的呈现或表现形式，即课程内容表征的问题。本文试图对此进行探讨。
一、课程标准与数学教科书
《数学课程标准》是我国数学课程改革的指导性文件，毕业论文 它规定了数学课程的具体目标和内容，但是，这些课程内容首先必须经过编撰者的“教学法加工”，以教科书这样一种载体或媒介呈现出来，然后才能通过师生共同参与的数学学习活动得以实现。数学教科书，它在相当程度上影响着教师的教和学生的学，对教学质量的提高起着关键作用。因此，它必须依据数学课程的具体目标和内容，选择和组织相关的材料，并以学生能够理解和接受的方式表达出来，为学生学习有关知识或解决所面对的问题提供必要的知识基础和方法。因此，数学教科书不仅力图向学生展示数学知识的内容，还要向学生展示获得知识的过程和学习的方法，让学生体验到如何从现实世界中发现和提出问题以及解决问题，逐步实现从模仿经由独立思考到创新的转变。它所蕴含的智力因素、文化内涵以及价值观，都会对学生韵个性发展起到潜移默化的作用。
那么，数学教科书与课程标准是一种什么关系呢?对此，郑毓信先生在《数学教育：动态与省思》中说到：“就‘课程标准’与教材编写的关系而言，这似乎是一个明显的事实，即‘课程标准’对教材编写工作有着明确的规范作用：前者不仅具体地规定了教材应当包括哪些内容，而且从总体上指明了教材编写所应遵循的一些基本原则。”“过强的规范性不能不说是我国数学教育乃至一般教育的一个严重弊病。[2] 应该说，这只是观察者站在“课程标准”立场上对两者关系的一种单向的认识和理解。如果换一个角度，站在教科书的位置上，我们就可以有另一种不同的认识：数学教科书是编撰者对数学课程标准或者主要地是对课程内容的表征。而前面所说的具有限制意义的“过强的规范性”就转变成了具有开放意义的“创造性”。我们认为，建立课程内容与教科书两者之间的表征关系，实现这种视角的转变具有比较重要的意义。第一，课程内容表征的内涵比过去人们在编写教科书时所要考虑的观念更加丰富，并具有统帅作用。第二，它揭示了课程标准与教科书之间的被反映和反映关系，突出了教科书编撰者的主体意识，有利于充分表现编撰者的主动性和创造性。这就克服了教育现实中我们经常看到的“一层卡一层”的现象：大纲“卡”教材，教材“卡”教师，教师“卡”学生。第三，数学课程内容的不同表征形成了不同风格的教科书，有利于建立教科书的动态观念和差异观念，有利于教科书的多样化，从而克服了教科书的传统意识，即数学教科书是教师与学生从事数学教学活动的“至高无上”的不容置疑的“范本”。当前，我国教科书“一纲多本”正是不同编撰者对数学课程内容的不同表征。显然，它在相当程度上反映了教科书编撰者的哲学观念和教育思想，反映了编撰者的专业修养和学术水平。同时，数学课程内容表征直接影响着学生学习活动的效果，制约着学习目标能否顺利实现。美国学者研究发现，知识内容的不同表征对学生学习有明显的影响。到目前为止，我国数学教育界在课程内容表征及其相关问题上的研究尚不够活跃。
二、课程内容表征的维度
辩证唯物主义认为，任何事物都是内容和形式的统一。在讨论数学课程内容表征时，我们也可以作类似的思考。具体地说，数学课程内容表征的分析需要思考三个问题：第一，根据数学课程的具体目标与内容，选取相关的教学材料。第二，在选取材料之后，要对课程内容和相应的材料进行逻辑结构上的组织与编排，并进行教育心理分析。第三，每一个课程内容及相应的教学材料以什么形式呈现出来。
1.内在表征。过去，根据课程内容选取教学材料的问题没有突现出来，主要是因为数学教科书的“一纲一本”，人们没有比较、对此的认识也就不会深刻。现在这个问题则显得较为重要。比如，义务教育课程标准数学教科书七年级上册的“数轴”部分，人教版[4]在第10页选用的“问题情境”就与华东师大版[5]第22页和北师大版[6]第34页所选用的材料有明显不同。这种不同能够对教师的教学意愿和选择产生一定的影响。因此，人们就要对教科书所选取的材料与课程目标和内容的适切性进行逻辑分析和心理分析。在选取材料之后，课程内容及相应的教学材料必须依据一定的逻辑结构和心理结构进行组织，从而形成一个有价值的教学文本——教科书，才能为学生进行有意义学习提供良好的条件。进一步地，这种逻辑结构和心理结构还必须统一于教学活动之中，形成能促进学生有效学习的内隐性的教学结构。从这个意义上讲，在教学过程中，我们常说学习要“循序渐进”，其中的“序”不仅指知识的逻辑结构和心理结构，也意味着相应的教学结构。由于这三种结构具有较强的内隐性，必须运用理性思维进行学科逻辑和教育心理学分析才能把握，故称其为课程内容的内在表征。简单地说，它就是内隐于教科书文本之中的逻辑结构、心理结构和教学结构之形式。综合博辛关于教学材料组织的观点，[7]笔者认为，课程内容的内在表征主要有三种类型：第一，逻辑式：它是按学科知识体系和结构组织课程内容或材料，注重逻辑顺序，有条不紊、纲目井然。如过去常见的“定义、公理——定理、公式——例题——习题”就属于此种形式。上世纪50—60年代美国“新数”运动的数学课程就主要地采取了这种逻辑结构形式。第二，心理式：它主要根据学生的认识、认知特点和学习兴趣来组织教学材料，以发挥学生的主体性，充分调动学生的学习积极性。第三，教学式：它根据学科体系和学生心理两方面的需要与可能组织课程内容和材料，其中必然隐含着一定的教学方法和教学结构。它是逻辑式与心理式的协调和融合。比如，北师大版七年级数学教科书所采取的“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”形式。<数学课程标准>要求教科书有助于引导学生从已有的经验和知识出发，体验知识的发生与发展过程，在积极思考与合作交流中获得良好的情感体验，其中就包含着一定的教学结构与方法的隐性规定。当然，我们对内在表征作出这三类划分，并不是否定它们之间的有机联系和联合作用。事实上，在教科书编制实践中，它们必须是相互配合与协调的，而且可以有不同的具体实施形式，如“混合式与分科式”、“螺旋式与直线式”、“过程式与结论式”、“演绎证明式与适度说明式”等。[8]由于学生的数学学习是一个由感性到理性，由量变到质变的过程，学生的认知发展表现出阶段性、层次性，是螺旋式上升的过程。因此，课程内容的内在表征通常采用“螺旋式”和“过程式”。我们考察了北师大版、人教版两种版本的义务教育课程标准数学教科书，发现它们都采取了几何和代数的“混合式”表征，有些具体内容的呈现也确实存在不同。如北师大版将“整式”分为七年级上、下两个阶段，进行螺旋式编排。人教版则先在七年级上册“有理数”中渗透简单的“整式加减”，便于后继知识学习，然后在八年级上册第十五章“整式”作系统性阐述。我们认为，不同版本的教科书确实应该在课程内容的内在表征方面有所突破和创新，而“一纲多本”中“多本”的实质就是内在表征的多样化。可见，数学课程内容的内在表征将会成为教科书编撰者的思维热点。

2．外在表征。数学课程内容的呈现通常采用数学语言、自然语言、文图结合等几种形式。我们把这几种能够通过感官知觉到的、相对外在的呈现形式称之为数学课程内容的外在表征。
数学语言是伴随着数学自身的发生和发展而成长起来，是储存、传承和加工数学思想信息的工具。它与日常语言不同，是一种高度抽象的专业语言，是一种以符号表达为主的特殊语言。数学语言通常可分为文字语言、符号语言和图表语言等三种。[9]它是数学内容外在表征的主要形式。
数学中的文字语言是数学化了的自然语言。硕士论文 自然语言常具有模糊性，而数学是严谨的，容不得含糊。所以，数学文字语言不是自然语言文字的简单移植或组合，而是经过一定的
加工、改造、限定、精确化而形成的，并且具有数学学科特指的语义，常以数学概念、术语的形式出现。如“长方形”是自然语言的精确化，“扩大到”“分数”则具有特定的含义，“小数点”则是对自然语言中的文字进行限定。
符号语言是数学中通用的、特有的简练语言，是一种语言表达形式。数学的各种符号按照它的逻辑意义和规则而组合建立起来的各种符号串或式子就构成数学句子，这里的逻辑意义和规则是指数学中的一些规定或原理法则，如式子“12.8×3+7．2×3”就要遵循运算的次序。
图表语言是指包括了一定数学信息的各种图示、图象、图形、图表。是一种直观性的数学语言，是数学内容表征的重要载体。如北师大版小学四年级下册<数学>第5页“小数的数位顺序表”就把数位与计数单位、计数单位之间、整数与小数之间的关系充分地表征出来。这种图表有直观形象的一面，但其内涵只有通过判断、推理、想象等思维方式才能揭示出来。有时，为了使教科书更加生动活泼，可能还会增加一些不含数学信息的图画。为了叙述的方便，把数学的图示、图象、图形、图表，以及图画统称为插图。在此，以北师大版小学四年级《数学》下册中的“小数的认识和加减法”、“小数乘法”、“小数除法”等三个单元为样本，讨论其中插图运用的现状。首先，我们对其中的插图作如下分类：第一类是含有数学信息的，如第2页、第61页的图画，其主要作用是创设一种联系实际生活的学习情境，提供一定的数学信息或相关知识，表达或揭示一定数学关系。如第40页“小数点搬家”中运用了三幅
“图文结合”来表述一个故事，然后提出问题：“小数点向哪边搬家的?快餐价格发生了怎样的变化?”以揭示本课主题。第二类是不含任何数学信息和意义的，如第15页、第47页的图画，其主要作用是丰富形式、增加趣味性和生动性。其次，我们分别对这三个单元中属于第一类的插图进行了初步统计。其中“小数的认识和加减法”约计41个，“小数乘法”约计19个，“小数除法”约计10个。与传统教科书相比，新版数学教科书的插图所占版面较大、插图的色彩鲜艳、内容丰富、形式活泼。可以说，插图是数学教科书，尤其是低年级教科书中数学内容表征的重要形式。
这几种外在表征的形式各有优势与不足：文字语言通俗、易懂，但描述起来是线性的，不易表露知识的内在结构；数学符号语言虽然抽象，但十分简洁，描述起来给人以结构感；图
表语言比文字语言和符号语言更具直观性，容易形成表象。
数学课程内容和思想的表达常常是数学符号语言、文字语言、图表语言和自然语言的优势互补和有机融合。数学学习也特别需要学生能在外在表征的三种形式之间进行流畅的转换。根据不同学段学生的心理和认知特点以及数学课程目标，编撰者在编写数学教科书时，应该灵活运用不同形式的外在表征，将数学语言、自然语言，以及插图有机结合起来，做到条理清楚，图文并茂，笔调生动，引人入胜。
三、数学课程内容表征的多样化
直到上世纪90年代中后期，医学论文 我国数学教科书(其中几何内容除外)里密密麻麻地印满了文字、符号和式子；插图运用得很少，好象是可有可无的点缀，与文字、符号和式子融为一体的更少。事实上，我们还没有把它作为表达课程内容与教学思想的不可缺少的工具。我国著名数学教育家张奠宙教授曾说，传统数学教科书“在形式上几乎原封不动，一付老面孔。几十年来逃不掉定义、定理、证明、推论、习题的路子，严格得没有一句‘废话’，没有一个多余的字，扳起面孔，没有趣味性，不谈民族风格，使学生望而生畏。[10]现在，《数学课程标准》要求数学课程内容的呈现应采用不同的表达方法，以满足多样化的学习需求，[11]更好地促进学生的发展。
我们知道，人的智力结构是多元的。每个人都有许多不同的、相对独立的认知能力。有的人善于形象思维，有的人长于计算，有的人擅长逻辑推理。这种差别没有优劣之分，只是表现出不同的特征与适应性。每个学生都有自己的生活背景、家庭环境和一定的文化感受，从而导致了不同学生具有不同的认知、思维方式和学习类型。相应地，每个人都有自己独特的感知信息的方式。比如，视觉空间智力较强的人会以图象的方式处理信息，他们能借助图形来反映与思考事物的形状及位置关系，并能分析其中的基本元素之间的关系。如果知识信息以图象方式出现，他们就能够容易理解和吸收。著名发展心理学家加德纳在其<多元智能>一书中对此进行了论述。[12]虽然加德纳对教学提出了上述提醒，但他的思想同样适用于教科书的编写。也就是，我们应该改革数学课程内容表征的单一性，积极尝试课程内容表征的多样化，以适应不同学生的智能特长和学习方法，最大限度发掘学生的智力潜能。
《数学课程标准》在“教材编写建议”中提出了许多改进课程内容表征的意见。[13]副比如，题材要有趣味性，要贴近学生的生活现实，要多样化；内容的呈现不仅要考虑不同阶段学生的认知特点，采取图文并茂的形式，激发学生的学习兴趣，增加教材的吸引力和亲和力，还要给学生提供从事数学活动的机会和空间，让学生通过自己的经验和活动来建构数学认识。特别是随着现代信息技术的进一步发展，音像多媒体或网络多媒体将会成为数学课程内容表征的一个重要方式。美国贾斯珀系列的数学课程所采取的超文本表征就给我们提供了范例，[14]值得我们学习和借鉴。

参考文献：
[1][11][13]中华人民共和国教育部制订．数学课程标准[M]．北京：北京师范大学出版社，2001．
[2][3]郑毓信．数学教育：动态与省思[M]．上海：上海教育出版社，2005：58—59．
[4]教材编写组．义务教育课程标准实验教科书数学(7—8年级)[M]．北京：人民教育出版社，2005．
[5]教材编写组．义务教育课程标准实验教科书数学(7年级上)[M]．上海：华东师范大学出版社，2001．
[6]教材编写组．义务教育课程标准实验教科书数学(7—8年级下册)[M]．北京：北京师范大学出版社，2002．
[7]丁尔升等．中学数学课程导论[M]．上海：上海教育出版社，1994：129．
[8][10]张奠宙．数学教育学[M]．南昌：江西教育出版社，1991：78—96，77．
[9]邵光华等，数学语言及其教学[J]’课程教材教法，2005(2)．
[12]加德纳．多元智能[M]．北京：新华出版社，1999：36．
[14]游安军，贾斯珀系列的课程设计特点及其启示[J]．湖南教育，2004，(5)，

转载请注明来自：http://www.zazhifabiao.com/lunwen/jyjx/jyll/13121.html