探讨高等数学教学中隐函数求导的三种方法

时间：2019-08-17 10:10:30 所属分类：教育理论 浏览量: 208

摘要：隐函数求导是高等数学的重点内容，也是难点内容。本文通过同一个例题，用三种不同的方法：直接法﹑公式法和微分法求解，分析每个方法需要注意的问题以及各自的优缺点。 关键词：隐函数，直接法，公式法，微分法 隐函数求导是高等数学的重点内容，几何

　　摘要：隐函数求导是高等数学的重点内容，也是难点内容。本文通过同一个例题，用三种不同的方法：直接法﹑公式法和微分法求解，分析每个方法需要注意的问题以及各自的优缺点。

　　关键词：隐函数，直接法，公式法，微分法

　　隐函数求导是高等数学的重点内容，几何应用和极值等问题都会用到隐函数求导。同时由于隐函数求导问题比较抽象，所以隐函数求导也是高等数学的难点内容。如果课堂教学只介绍单一的方法求解，那么学生学习起来会比较困难，不容易理解和掌握。因此在教学中，需要针对同一类问题，探讨多种求解的方法，并注意方法之间的区别以及每个方法的优缺点，引导学生从多角度去思考问题并提高能力。

　　在课堂教学中，隐函数求导主要有以下三个方法：(1)直接法;(2)公式法;(3)微分法。下面本文通过同一个例题，用三种不同的方法对比，分析每个方法需要注意的问题以及各自的优缺点。

　　例 1 设 z zxy = (, )是由方程 z f x x z yz = − (, , )所确 定 的 隐 函 数， 其 中 f 有 连 续 偏 导 数，求 , z z x y ∂ ∂ ∂ ∂ .解法一(直接法)：方程两端对x求偏导， 1 2 3 (1 ) z zz f f fy x xx ∂ ∂∂ = + ⋅− + ⋅ ∂ ∂∂ ，得 1 2 2 3 1 z f f x f yf ∂ + = ∂ +− . 方程两端对 y 求偏导， 2 3 ()( ) zz z f fz y yy y ∂∂ ∂ = ⋅− + + ∂∂ ∂ ，得 3 2 3 1 z zf y f yf ∂ = ∂ +− . 直接法需要注意的问题：x y, 是自变量， z 是 x y, 的函数， z 的函数是 x y, 的复合函数。将方程两边对 x (或 y )求偏导，就得到一个含有偏导数 z x ∂ ∂ (或 z y ∂ ∂ )的方程，从中解出 z x ∂ ∂ (或 z y ∂ ∂ )即可例 2 设 u f xyz = (, , ) 有 连 续 的 偏 导 数， y yx = ( ) 和 z zx = ( ) 分别由方程 0 xy e y − = 和 0 z e xz − = 确定，求du dx . 解： 由 链 式 求 导 法 则， 有 xy z du dy dz ff f dx dx dx = +⋅ +⋅ (1)其中 , dy dz dx dx 可通过直接法或公式法计算。解法一(直接法)：方程 0 xy e y − = 两端对 x 求导， ( )0 xy dy dy e yx dx dx + −= ，得 1 xy xy dy ye dx xe = − . 方 程 0 z e xz − = 两端对 x 求 导， 0 z dz dz e zx dx dx ⋅ −−⋅ = ，得 z dz z dx e x = − . 将 1 xy xy dy ye dx xe = − ， z dz z dx e x = − 代入(1)中，。例 3 设 y f xt = (,)，而t 由方程F xyt (, ,) 0 = 所确定的关于 x y, 的函数，其中 f F, 都有连续偏导数，求dy dx . 解： 由 链 式 求 导 法 则， 有 ( ) x t dy t t dy f f dx x y dx ∂ ∂ =+ +⋅ ∂ ∂ (1)其中 , t t x y ∂ ∂ ∂ ∂ 可通过直接法或公式法计算。解法一(直接法)：方程F xyt (, ,) 0 = 两端对 x 求偏导， 0 x t t F F x ∂ +⋅ = ∂ ，得 x t t F x F ∂ = − ∂ . 方 程 F xyt (, ,) 0 = 两端对 y 求 偏 导， 0 y t t F F y ∂ +⋅ = ∂ ，得 y t t F y F ∂ = − ∂ . 将 x t t F x F ∂ = − ∂ ， y t t F y F ∂ = − ∂ 代 入(1) 中，得 xt t x t ty dy fF fF dx F f F − = + .

　　隐函数求导方法除了上面提到的三种方法以外，还有“显化法”、“参数法”和“利用偏反函数求解多元隐函数的偏导数”等方法，显化法要求隐函数可以转化为显函数，但是不是所有的隐函数都能化为显函数;参数法步骤较复杂，且不容易转化，因此较少使用该方法;利用偏反函数求解多元隐函数的偏导数要求隐函数必须存在反函数，而且求解相对复杂。因此在教学上，隐函数求导问题建议直接法、公式法和微分法。从教学反馈来看，对于由一个方程确定的隐函数求导，大部分学生会选择公式法，对于由方程组确定的隐函数求导，大部分学生会选择直接法。但通过上面四个例题用三种不同的解法对比，我们不难发现，用微分法求解，具有不需要记忆公式，不用分析函数变量错综复杂的关系，解题步骤简洁，计算过程不容易出错等优点，建议在教学中通过例题的讲解和习题的练习，使学生掌握用微分法求解隐函数求导问题。

　　【参考文献】

　　[1] 大连理工大学城市学院基础教学部 . 应用微积分 ( 下册 )[M]. 大连理工大学出版社 ,2013.

　　[2]同济大学数学教研室 .高等数学 (下册 )[M]. 高等教育出版社 ,1998.

　　[3] 石 满 红 , 朱 芳 . 隐 函 数 求导 问 题 的 方 法 总 结 [J]. 科 技 经 济 导刊 ,2017(6):188+183.

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